Kapitel 9
Von Wellen, Teilchen und Wahrscheinlichkeiten


An dieser Stelle möchte ich nun etwas Klarheit in das Welle-Teilchen-Kauderwelsch bringen, d.h. soweit dies überhaupt möglich ist, denn selbst dieWissenschaft muss sich mit einer Zwischenlösung behelfen, wie Sie sehen werden. Es wird sogar noch unglaublicher, da sich herausstellte, dass man den Ort eines Teilchens nicht genau bestimmen kann. Man kann nur einen Raum angeben, in dem sich das Teilchen mit hoher Wahrscheinlichkeit befindet, wo es jedoch wirklich ist lässt sich nicht sagen.


Das Licht als Fluss von Photonen

Sie haben bereits die Gleichung kennen gelernt, nach der die Energie eines sog. Quants berechnet wird. Die Energie eines einzelnen Quants ist demnach das Plancksche Wirkungsquantum multipliziert mit der Frequenz des Lichtes. Die Frequenz (f) ist der Kehrwert der sog. Periodendauer (T), also:


Die Periodendauer wiederum ist die Zeit, die eine Welle für eine kompletteSchwingung benötigt. Hierfür dividiert man die gemessene Zeit (t) durch die Anzahl (n) der in diesem Zeitraum erfolgten Schwingungen:


Wenn man weiß, wie lange eine Schwingung dauert, so muss man dies nur noch mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit (c) multiplizieren und erhält die Wellenlänge (Lambda):


Somit gilt nach einfacher Umformung:


Setzt man das in die Frequenzgleichung ein erhält man:


Dies hat zur Folge, dass die Energiegleichung Plancks für ein Quantfolgende Form erhält:


Da es sich um eine Berechnung in Bezug auf elektromagnetische Wellen handelt ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit c gleich der Lichtgeschwindigkeit (ca. 300.000 km/s). Wenn Sie die Herleitung nicht ganz verstanden haben, so ist das nicht schlimm. Wichtig ist hier nur die letzte Gleichung. Ich wollte Ihnen an dieser Stelle deutlich vor Augen führen, dass der Energiegehalt eines Quants von der Lichtgeschwindigkeit und der Wellenlänge des untersuchten Lichts abhängt. Und somit ist die Wellentheorie und die Teilchentheorie des Lichts untrennbar miteinander verknüpft. Man kann Licht nicht nur als Welle oder nur als Teichen beschreiben, beide Ansichten sind komplementär, die eine kann ohne die andere nicht sein. Bohr gab dieser Tatsache einen eigenen Namen: das „Komplementaritätsprinzip“.
1916 erkannte Einstein einen interessanten Ansatz, der sich aus den Gleichungen seiner allgemeinen Relativitätstheorie ergaben. Nach seinen Forschungen gilt für die Energie eines Teilchens:
 
c ist auch hier die Lichtgeschwindigkeit, m dir Ruhmasse und p der Impuls des Teilchens. Vorhergehende Untersuchungen Plancks sagten, dass der Impulseines Lichtquants gerade

sein müsste. Albert Einstein ging hier wahrlich im wahrsten Sinne desWortes ein Licht auf, als er diese Gleichung seiner eigenen gegenüber stellte.Geht man davon aus, dass Licht keine Ruhemasse hat, so ergibt sich:

Formt man dies nach p um und schreibt die Gleichung passend auf, so erhält man:


Die vorhergehenden Erkenntnisse Plancks und die übereinstimmenden Berechnungen Einsteins legen den Schluss nahe, dass Lichtteilchen kein Behilfskonstrukt sondern Realität sind. Später wurden diese Lichtteilchen Photonen genannt und sie haben eine höchst interessante Eigenschaft, die ich oben nur beiläufig erwähnt habe: Licht hat keine Ruhemasse! Das ist so ähnlich, als würde man einen Fußball nehmen der nur existiert solange die Spieler ihn bewegen. Bleibt er einmal liegen bewegt er sich nicht mehr, hat damit keine Masse und verschwindet plötzlich als hätte es ihn nie gegebenen. Ergo: Wenn wir ein Photon messen, dann bewegt es sich auch, es gibt keine stillstehenden Photonen – sie bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit.
  

Der Welle-Teilchen-Dualismus

Sie haben bezüglich des Photons bereits gelernt, dass die Wellen- und die Teilchenvorstellung untrennbar miteinander verwoben sind. Weiterhin können bestimmte Experimente nur mit der Wellenvorstellung (z.B. Interferenzmuster), andere nur mit der Teilchenvorstellung (z.B. photoelektrischer Effekt, Franck-Hertz-Versuch) erklärt werden. Da liegt doch eine Frage relativ
nahe: Wenn eine Welle auch ein Teilchen ist, ist dann nicht ein Teilchen auch eine Welle? Diese Frage mutet zunächst etwas philosophisch an, jedoch wurde sie ernsthaft gestellt und auch beantwortet. Konkret befasste sich der französische Physiker Louis Victor Broglie (1892-1987) mit dieser Fragestellung. Er wollte beweisen, dass Elektronen nicht nur Teilchen sind, wie ja die allgemeine Auffassung war, sondern auch Wellen bzw. beides, ähnlich dem Licht. Mathematisch konnte er dies relativ früh zeigen. Der experimentelle Nachweis dauerte jedoch bis zum Jahre 1927.
Für den Versuch wurde ein Nickelkristall verwendet auf den ein Elektron abgeschossen wurde. Ist das Elektron wirklich eine Welle, so würde diese, ähnlich einer Wasserwelle an den einzelnen Atomen des Kristalls gebeugt. Innerhalb der Kristallformation sind die Atome sehr regelmäßig angeordnet. Die Abstände zwischen den Atomen sind sehr klein, kleiner als die von de Broglie berechnete Wellenlänge eines Elektrons. Dadurch hätte die Welle zwischen mehreren Atomen hindurchdringen müssen. Das Ergebnis ist leicht absehbar: Sie haben bereits im dritten Kapitel gesehen was passiert: Wasserwellen, welche durch zwei Spalten fliesen interferieren, ähnliches geschieht bei Licht, was sich durch helle und dunkle Streifen zeigt. Gleiches hoffte man bei dem Elektron zu erkennen: ein Interferenzmuster. Und es er erschien wirklich!



Damit war der Beweis erbracht: Elektronen sind Wellen... und Teilchen – na ja, dieses Problem kennen Sie ja bereits. Spätere Untersuchungen zeigten, dass sogar die Protonen und Neutronen des Kerns Welleneigenschaften haben – man spricht daher auch von Materiewellen. Bitte merken Sie sich das gut! Materie kann sowohl als Teilchen, als auch als Welle aufgefasst werden!


Wahrscheinlichkeiten, oder: Wo ist mein Elektron?

Bis jetzt war das von Bohr aufgestellte Atommodell sehr eindeutig: Ein Kern der aus Teilchen besteht, welche man Protonen und Neutronen nennt, und in ganz bestimmten Umlaufbahnen fliegen kleine Teilchen, Elektronen genannt. Doch wie sollte man sich das ganze mit Wellen vorstellen? Nach der neuen Auffassung müssten jetzt auch kleine Wellen um den Kern fliegen, der übrigens selber ja wieder ein „Knäuel“ aus Wellen ist. Die Vorstellungskraft schwindet hier – und das ist auch ein Ergebnis, was Sie aus diesem Kapitel mitnehmen sollen: Das schöne, eindeutige Modell der atomaren Welt, welches Ihnen wahrscheinlich in der Schule mitgegeben wurde existiert nicht. Man versucht – das ist nur allzu menschlich– komplizierte Sachverhalte der Quantenphysik auf Begriffe unserer Alltagswelt zu übertragen um eine bessere Vorstellungskraft zu haben. So sind die Planetenbahnen nur eine Metapher! Sie sind nicht wirklich existent. Es fliegen also keine Elektronen um einen Kern auf planetenähnlichen Bahnen – dies soll uns nur die Sicht auf die atomare Welt erleichtern – und so ist das mit vielen Dingen der Quantentheorie. Ich möchteSie an dieser Stelle nicht verwirren, aber Sie sollten nicht alles für bare Münze nehmen und 1:1 auf die reale Welt übertragen. Sie können das tun, um eine bessere Vorstellungskraft zu erhalten, jedoch sollten Sie nicht annehmen, dass es wirklich so ist. Wie es in einem Atom tatsächlich aussieht kann Ihnen niemand, wirklich niemand sagen. Wir müssen uns mit menschlich greifbaren Metaphern behelfen, um eine Vorstellung zu gewinnen, man darf diese aber nie mit der Wirklichkeit verwechseln!
Max Born (1882-1970), deutscher Physiker, entwickelte zur Beschreibung des Welle-Teilchen-Dualismuses eine Idee weiter, welche vorher schon existierte, er brachte sie jedoch zur Perfektion. Zur Beschreibung eines Elektrons verwendete er, wie das üblich war, die Wellenfunktion, welche man mit dem griechischen Buchstaben Psi abkürzt. Born verknüpfte jetzt die Ergebnisse der Psi-Funktion mit der Vorstellung vom Teilchen: Man kann mit Hilfe der Wellenfunktion die Intensität einer Welle irgendwo im Raum berechnen. Die Intensität der Welle nahm Born als Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sich das Teilchen zu einem Zeitpunkt t an der Stelle x befindet. Um so intensiver das Ergebnis der Psi-Funktion an einer bestimmten Stelle des Raumes um so wahrscheinlicher, dass das Elektron genau an der Stelle zu finden ist. Das Ergebnis dieser Berechnungen wahr erschütternd: Wir können nie sagen wo ein Elektron gerade ist! Wir können nur sagen wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Elektron an einem bestimmten Ort verweilt. Es kann sich also theoretisch überall befinden, nur dass die Wahrscheinlichkeit des Aufenthalts an einigen Orten um ein Vielfaches größer ist als an anderen.
Diese erschreckende Feststellung macht unsere Vorstellung von einem Atom natürlich nicht leichter. Wie soll man sich ein Elektron vorstellen, welches überall und nirgends ist. Innerhalb des Atoms musste man daher den Vergleich mit den Bahnen endgültig aufgeben und sog. Orbitale einführen – Bereiche des Atoms in dem sich ein Elektron höchst wahrscheinlich aufhält. Das Gleiche gilt natürlich auch für alle anderen Teilchen. Ich habe es ja bereits angedeutet: In der Quantenphysik gibt es immer nur den verrückteren Weg.


„Gott würfelt nicht“

Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten war in der Quantenphysik jedoch nichts neues. Schon vorher hatte man erkannt, dass bestimmte Vorgänge nicht zu berechnen sind – sie passieren halt: wann, warum, wieso, weshalb weiß kein Mensch. Albert Einstein war mit dieser Vorstellung nicht zu frieden. Er glaubte fest daran, dass alles eine Ursache hat und diese müsse sich auch in ihren Auswirkungen berechnen lassen. Er brachte das mit seiner berühmten Aussage „Gott würfelt nicht“ zum Ausdruck und meinte, dass Gott nichts zufällig geschehen lässt, sondern alles wohl bestimmt sei. Eine Einstellung, welche ich bereits im ersten Kapitel genauer erläuterte und die man mit Determinismus bezeichnet. Ich sagte jedoch schon zu diesem Zeitpunkt, dass der Determinismus leider nur ein Traum ist: Nicht alles und jedes ist zu berechnen. Manche Dinge scheinen doch rein zufällig zu passieren. Dies haben Sie bereits bei der Berechnung der Elektronenposition gesehen, dessen Ort nicht genau bestimmbar ist. Sie werden es jetzt an zwei weiteren quantenphysikalischen Prozessen sehen, die Sie schon kennen gelernt haben.
Sie wissen, dass Elektronen durch Photonen innerhalb von Atomen auf höhere Bahnen gehoben werden können. Durch die übertragene Energie springen die Elektronen von einer tieferen auf eine höhere Umlaufbahn (Sie sehen, dass ich bei den Metaphern bleibe, auch wenn sie falsch sind, aber so kann man es sich am besten vorstellen). Sie wissen jedoch auch, dass Elektronen auf diesem höheren Energieniveau nicht für immer verweilen werden. Nach einer gewissen Zeit fallen Sie zurück in den alten Zustand und geben dabei die aufgenommene Energie wieder ab. Wann sie jedoch in den alten Zustand zurückfallen ist nicht zu berechnen! Man kann eine Wahrscheinlichkeit angeben wann sie denn zurückfallen könnten – ob sie das jedoch tun bleibt ganz den Elektronen überlassen.
Ein weiteres Problem ist die Berechnung radioaktiver Zerfallsprozesse. Sie wissen bereits, dass Kerne künstlich gespalten werden können, wie man dies in Kernkraftwerken durchführt. Kerne können jedoch auch natürlich zerfallen, ohne dass man sie mit Neutronen oder ähnlichem beschießen müsste. Wann sie jedoch zerfallen bleibt ganz den Atomen überlassen, auch dies lässt sich nicht berechnen. Man kann nur statistische Wahrscheinlichkeitswerte angeben in welcher Zeit eine gewisse Menge einer Probe zerfallen wird. Nimmt man eine Menge einer Probe an, so kann man feststellen, dass nach einer Zeit x die Hälfte der in der Probe befindlichen Atome zerfallen sind. Vergeht dieser Zeitraum wieder, so ist von der Hälfte wieder die Hälfte zerfallen usw. Dies nennt man die Halbwertzeit. Hiervon haben Sie sicherlich schon einmal im Zusammenhang mit Endlagern für radioaktiven Müll gehört. Die Halbwertzeit von Uran der Isotopart 235 (51 Neutronen) beträgt z.B. 700 Millionen Jahre, die von Uran der Isotopart 238 (54 Neutronen) hat sogar eine Halbwertzeit von 4.5 Milliarden Jahren. Dies bedeutet, dass bei einer Probe von 1 kg nach 700 Millionen bzw. 4.5 Milliarden Jahren die Hälfte, also 0.5 kg der Probe zerfallen ist. Das Ergebnis ist also: Gott würfelt doch!


Quantenzahlen und ihre Rolle beim Atomaufbau

Woher wissen die Elektronen auf welche Bahn sie gehören (wie gesagt: Ich bleibe aus Gründen der Anschaulichkeit bei den Planetenbahnen)? Warum passen auf die innerste Bahn nur 2 Elektronen auf die nächste jedoch schon 8 - warum nicht mehr? Wolfgang Pauli (1900-1958) hatte hierauf eine Antwort. Es war bereits bekannt, dass Elektronen mehr Eigenschaften inne tragen als nur die Frequenz, die Energie und den Impuls. Ihnen mussten weitere Werte zugeschrieben werden um bestimmte Phänomene zu erklären. Ein ungelöstes Problem war z.B. die Balmer-Serie. Diese ist nichts weiterals die Spektrallinien im Lichtspektrum, welches der Wasserstoff hervorruft. Johann Jakob Balmer (1825-1898) war ein schweizer Lehrer, der sich überdas Phänomen der Frauenhoferlinien Gedanken gemacht hatte und eine Formel entwickelte mit deren Hilfe die Spektrallinien berechnet werden konnten – sie funktionierte jedoch nur beim Wasserstoff und natürlich hatte sie nichts mit der Quantenphysik zu tun, denn die wurde ja erst 1900 entwickelt und zu diesem Zeitpunkt war Balmer schon längst tot. Nils Bohr jedoch vermutete, dass eine Abwandlung der Formel unter Verwendung der Planckschen Konstante h die Gleichung in die Welt der Quantentheorie überführen könnte. Er vollzog dies und es funktionierte. Anhand des bohrschen Atommodells mit Elektronen, die nur auf bestimmte, gequantelte Bahnen springen können konnte man die Spektrallinien erklären (wie bereits beschrieben). Es gab jedoch ein Problem: Es waren mehr Spektrallinien erlaubt als es wirklich gab. Die Ursache hierfür konnte man nicht klären, man schrieb jedoch den Elektronen weitere Eigenschaften zu, so dass das mathematische Modell wieder passte: sog. Quantenzahlen. Dabei ist das Erreichen einer sog. Hauptquantenzahl (n), welche ein erreichbares Energieniveau innerhalb der Schale des Atoms entspricht für bestimmte Elektronen wahrscheinlicher als ein anderes Energieniveau. Auf diese Art und Weise ließ sich erklären, warum bestimmt Linien im Spektrum nicht erscheinen bzw. andere ausgeprägter sind: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron die Energieportion x aufnimmt und damit auf die Schale y springt ist einfach größer, als dasses die Energieportion x' aufnimmt und somit auf Energieniveauschale y' aufsteigt.
In der Zwischenzeit wurden dem Elektron viele weitere Eigenschaften zugeschrieben: sog. Nebenquantenzahlen, Megnetquantenzahlen und Spinquantenzahlen. Ich erspare es Ihnen an dieser Stelle genauer auf diese Zahlen einzugehen, da diese rein mathematische Gedankenexperimente sind. Man versuchte zwar die Zahlen in die klassische Mechanik zu übersetzen und kam auf Parallelismen wie z.B. der Spin sei der Eigendrehimplus. Dies funktioniert solange, wie man sich Elektronen als Kugeln vorstellt. Aber wie dreht sich eine Welle? Und überhaupt, wo ist diese Welle eigentlich, die sich drehen soll? Sie sehen, diese Vorstellung funktioniert nicht und hätte mit der Wirklichkeit abermals nichts zu tun. Daher sollte man sich einfach merken, dass Quantenzahlen Eigenschaften sind, welche man den Elektronen zuschreibt – und fertig.
Ich habe bereits oben den Begriff der Orbitale verwendet. Dies sind berechnete Räume, in der es wahrscheinlich ist ein Elektron anzutreffen. DieseVorstellung hat nichts mehr mit dem gut greifbaren Begriff der Planetenbahnenzu tun.
Man kann also Orbitale als Räume auffassen. Jede Hauptquantenzahl entspricht eine Schale von Bohrs Atommodell, also Hauptquantenzahl 1 ist die innerste Schale, Hauptquantenzahl 2 die nächste usw. bis zur siebten Schale. Nun ist jeder Schale eine gewisse Anzahl an möglichen Orbitalen zugeordnet. Der ersten Schale z.B. wurde ein sog. s-Orbital hinzugefügt, der zweiten Schale ein s-Orbital und 3 sog. p-Orbitale usw. Dabei sind die Orbitale weiterhin nichts weiter als Räume in denen sich Elektronen bewegen können. Die Aufgabe der Nebenquantenzahl ist es genau eine bestimmte Orbitalform auszusuchen, ob es also ein s-, p- ,d-, f- oder g-Orbital sein soll. Was das für bestimmte Orbitale sind, soll hier nicht von Interesse sein, es handelt sich um bestimmte räumliche Formen, in denen sich ein Elektron gerade befinden kann. Innerhalb eines Orbitals finden 2 Elektronen Platz. Diese müssen jedoch unterschiedlichen Spin haben.
Für uns ist eine Sache aus der Alltagswelt völlig normal: Habe ich eine Murmel auf den Tisch gelegt so kann ich an die gleiche Stelle zur gleichen Zeit nicht noch eine hinlegen, denn die erste nimmt bereits den Raum ein. Stellt man sich Elektronen als Kugeln vor, so können zwei Elektronen auch nicht zur gleichen Zeit am gleichen Ort sein. Nimmt man jedoch an Elektronen seien Wellen und es gibt nur eine Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Ort ist, so können sich diese Wahrscheinlichkeitsräume durchaus überlappen. Man kann daher sagen, dass in einem Orbital mehr als ein Elektron Platz hat. Nach Pauli sind es genau zwei – nicht mehr. Warum? Dies ist das grundlegende Gesetz, welches er entdeckte: Zwei Elektronen können zwar den gleichen (Wahrscheinlichkeits-)Raum haben, jedoch müssen sie unterschiedliche Quantenzahlen besitzen. Haben sich die Elektronen für ein Orbital entschieden, so stehen damit ihre Quantenzahlen alle fest, bis auf eine: der Spin. Der Spin kann entweder +1/2 oder -1/2 betragen. Das ist der Grund warum ein Orbital maximal genau zwei Elektronen aufnehmen kann. Mehr geht nicht, denn dann müssten mind. 2 Elektronen einen Spin von +1/2 bzw. -1/2 innerhalb des Orbitals haben und dies ist nicht möglich, denn dann würden mind. 2 Teilchen in allen Quantenzahlen übereinstimmen - dies darf nicht sein. Auf diese Weise erklärte Pauli woher das Elektron weiß wo es hingehört. Es ergibt sich aus seiner Quantenzahl. Dabei werden zunächst die Orbitale niedrigerer Energie aufgefüllt und dann die höherer Energie, immer unter Berücksichtigung des eigenen Spins und der anderen 3 Quantenzahlen. Dies nennt man das Paulische Ausschließungsprinzip, oder kurz Pauli-Prinzip und ist ein fundamentales Naturgesetz. Natürlich haben nicht nur Elektronen Quantenzahlen. Auch Protonen und Neutronen verfügen über diese Eigenschaften, auch wenn sie nicht ganz vergleichbar sind. 
Aus den Gesetzen der Wahrscheinlichkeit und den Quantenzahlen konnten gute mathematische Modelle entwickelt werden, um die Natur der Teilchen zu beschreiben. Dazu zählen die Matrizenmechanik, die Quantenalgebra und – sehr berühmt – die Wellengleichung Schrödingers.   

Letzteres ist sicherlich sehr schwer zu verstehen. Das Pauli-Prinzip sei hier auch nur der Vollständigkeit halber erwähnt, es wird nicht unbedingt für ein einfaches Verständnis der Quantentheorie benötigt. Es ist eher das i-Tüpfelchen. Das nächste Kapitel ist da schon um einiges Interessanter, denn hier geht es um Kurioses und Weltveränderndes.      


Zusammenfassung

Nach dem Komplementaritätsprinzip Bohrs sind Welle und Teilchen eng miteinander verknüpft. Dies bezeichnet man auch als Welle-Teilchen-Dualismus – beide Auffassung sind zwei Seiten ein und der selben Medaille. Auch Elektronen und andere Elementarteilchen können als Materiewelle aufgefasst werden. Es ergab sich jedoch das Problem, dass der genaue Ort eines Teilchens nicht mehr bestimmt werden konnte. Somit mussten Wahrscheinlichkeiten eingeführt werden, die abermals den Determinismus empfindlich störten. Daraus resultierte ein überarbeitetes Atommodell, wonach die Teilchen Wahrscheinlichkeitsräume innerhalb eines Atoms einnehmen. Welchen Wahrscheinlichkeitsraum die Teilchen zu besetzen haben, sagt ihnen das Paulische Ausschließungsprinzip, wonach innerhalb eines Systems (z.B. eines Atoms) keine Teilchen mit identischen Quantenzahlen vorkommen dürfen. Quantenzahlen sind dabei zusätzliche Eigenschaften die jedem Teilchen zugeschrieben werden.