- Kapitel 15 -
Unglaubliche Möglichkeiten: Der Quantencomputer

Es klingt zu fantastisch um wahr zu sein: Ein Computer, welcher bestimmte Aufgaben tausendfach schneller rechnet als die schnellsten Supercomputer heutiger Tage. Leider ist es im Moment mehr Vision als Realität, aber erste Erfolge auf dem Weg zum Quantencomputer konnten bereits verbucht werden. Ich möchte diese Zukunftstechnologie hier genauer vorstellen, so zusagen als krönender Abschluss unserer Reise durch die Welt der Relativität und Quantentheorie. Das Kapitel soll jedoch nur einen kurzen Einblick gewähren, da eine tiefgründige Analyse schnell in den mathematischen Einsatz der Schrödingerfunktionen und Dirac-Notationen führen würde, was diese populärwissenschaftliche Einführung deutlich sprenget.


Von Qubits und Quantensuperpositionen

Grundlage des Quantencomputers sind quantenphysikalische Zustände, wie sie in dieser Abhandlung bereits beschrieben worden sind. Ich möchtedaher versuchen das schon bekannte so zu verknüpfen,dass Sie die Grundlagenverstehen.
Mit Hilfe des Doppelspaltexperimentes habe ich Ihnen in Kapitel 10 das komische Verhalten von Quanten gezeigt. Verwendet man eine Platte, welche an zwei Stellenlichtdurchlässig ist und befestigt in einem gewissen Abstandeine Photoplatte dahinter so zeigt sich ein Interferenzmuster sobald Licht durch die beiden Schlitze fällt. Dies ist verständlich, denn derWelle-Teilchen-Dualismus besagt, dass Quanten auch als Wellen aufgefasst werden und diese haben die Fähigkeit zu interferieren. Verwunderlich war jedoch das Entstehen des Interferenzmusters wenn man nur ein einzelnes Quant aussendet. Mit welchem Quant interferiert dieses um das Muster zu erzeugen? Auf Wellenebene haben wir diese Frage bereits geklärt und gesagt, dass das Quant als Welle durch die Schlitze tritt und so auch ein einzelnes Quant eine Interferenz hervorrufen kann. Es gibt jedoch auch eine Erklärung auf Quantenebene, welche, wie sollte es in der Quantentheorie auch anders sein, verrückt ist. Das Quant trägt nicht nur die eigene Welleninformation in sich, sondern auch die Information seines „Gegenspielers“, welches die Interferenz hervorruft. Beide Zustände sind in dem einen Quant gespeichert. Ein weiteres Experiment, welches eine große Ähnlichkeit mit dem Michelso-Morley-Interferometer aus Kapitel 4 hat, bestätigt diese Vermutung. Das sog. Mach-Zehnder-Interferometer hat den folgenden Aufbau: Licht wird auf einen halb durchlässigen Spiegel gesandt, wobei der Lichtstrahl geteilt wird. Beide legen nun über je einen Spiegel eine exakt gleiche Strecke zurück und werden am Ende mit Hilfe eines weiteren halb durchlässigen Spiegels wieder vereinigt. Innerhalb des Spiegels tritt nun Interferenz auf: In die eine Richtung verstärken sich die Lichtstrahlen und können daher mit Hilfe eines Detektors gemessen werden. In die andere Richtung jedoch löschen sich die Lichtstrahlen gegenseitig aus. Daher zeigt der Detektor keinerlei Lichteinfall an. Interessant wird es, wenn man nur ein Quant durch das System sendet: Geht man von der Teilchennatur des Lichts aus, so muss dieses sich für einen Weg entscheiden. Man kommt jedoch zu dem gleichen Ergebnis, wie bei dem vorhergehenden Versuch: Ein Detektor registriert das Quant, der andere nicht. Verschließt man nun einen der beiden Wege, so ist in beiden Detektoren Licht zu registrieren. Auch hier hat das Quant also die Information von eigentlich zwei Quanten in sich getragen: Die eigene Information und die Information des Gegenspielers, welches die Interferenz auslöst und so verhindert, dass beide Detektoren etwas messen können.
Die Schrödingergleichungen beschreiben dieses Phänomen ebenfalls auf Wellenebene. Sie haben erfahren, dass ein Quantensystem eine Überlagerung vieler möglicher Zustände ist (eine Überlagerung vieler Wellenfunktionen) und nur zum Zeitpunkt der Beobachtung zwingt man das System dazu eine Entscheidung zu fällen, z.B. ob Schrödinger seine Katze weiterhin behalten darf oder eben nicht.
Die Eigenschaft, dass ein Quantensystem mehr als eine Information in sich tragen kann nennt man Quantensuperposition. Während in der „herkömmlichen“ Informatik ein Zustand eindeutig ist, nämlich entweder 0 oder 1, haben wir es in der Quanteinformatik mit einer Überlagerung mehrerer Zustände zu tun. Dies ist mit nichts in der bisherigen Informationstheorie vergleichbar. In der Informatik sprach man bisher von sog. Bits. Ein Bit ist eine einzige Speicherzelle, welcher genau ein Zustand, nämlich 0 oder 1, zugewiesen werden kann. Dabei ist es egal, ob man dies mit „Strom an“, „Strom aus“, „Schalter auf“, „Schalter zu“, „magnetisiert“, „nicht magnetisiert“ usw. gleichsetzt. Der Zustand ist immer ganz eindeutig definiert.
In der Quanteninformatik ersetzt man diese Bits durch Qubits. Ein einzelnes Qubit ist ein Teilchen, welches quantenphysikalischen Gesetzen gehorcht und gleichzeitig 0 und 1 repräsentiert! Koppelt man zwei Qubits so repräsentiert ihr Quantensuperposition alle vier möglichen Zustände (00,01,10,11), koppelt man drei so alle acht, bei vieren alle 16 usw. Die einfache Formel dahinter lautet 2N, wobei N die Anzahl der gekoppelten Qubits ist.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten Qubits zu realisieren. Die zwei bekanntesten möchte ich hier vorstellen: NMR und die Ionenfalle.


Nukleare magnetische Resonanz (NMR)
   
Bei der nuklearen magnetischen Resonanz (kurz NMR) wird der schon beschriebene Spin der Teilchen ausgenutzt. Eine Flüssigkeit, deren Teilchen alle den Spin ½ aufweisen, dient als Basis dieser Methode. Wird ein solches Teilchen einem Magnetfeld ausgesetzt so richtet sich dieses getreu seinem Spin aus. Der Spin schreibt dem Teilchen also vor in welche Richtung es sich  zu drehen hat. Wenn das Teilchen jedoch eine genau entgegengesetzte Position einnehmen soll, so braucht es dafür ein höheres Energieniveau. Bei der NMR-Methode wird an die Flüssigkeit ein Magnetfeld angelegt, so dass sich die Teilchen alle gleich in eine Richtung auslenken. Dieser Grundzustand kann mit der Binärzahl 0 gleichgesetzt werden. Mit Hilfe von gezielt eingesetzter Radiostrahlung (niederfrequente Strahlung) kann ein solches Teilchen dazu gebracht werden seine Ausrichtung zu ändern, dies würde der 1 entsprechen. Ein nochmaliger Einsatz des Strahls würde das Teilchen wieder auf 0 zurückspringen lassen. In der Informatik bezeichnet man das als logisches NOT, da der Zustand genau umgekehrt wird (NOT 1 = 0, NOT 0 = 1). Man muss jedoch das Teilchen, welches z.B. ein Wasserstoffkern (also ein Proton) sein kann nicht um 180° drehen. Verwendet man nur die Hälfte der Energie, so dreht man es um nur 90°. Und hier schlägt die Quantenphysik wieder zu: Misst man jetzt den Zustand des Teilchens so ist die Wahrscheinlichkeit eine 1 zu messen 50 % und ebenso 50 % ein 0 zu messen. Das Teilchen gehorcht quantenphysikalischen Regeln und befindet sich in einer Superposition zwischen zwei Werten.
Nun sollen quantenphysikalische Systeme jedoch nicht nur aus einem, sondern aus vielen Qubits bestehen. Dafür müssen sie miteinander interagieren. Die Quantenphysik hält hierfür ein Phänomen bereit, welches sich Spin-Spin-Kopplung nennt. Innerhalb eines Moleküls bewirkt die Veränderung des einen Atomspins eine Veränderung des Spins eines anderen Atoms des Moleküls. Somit können verschiedene Qubits innerhalb eines Moleküls miteinander gekoppelt werden.


Ionenfallen

Wie der Name schon sagt dienen bei dieser Methode Ionen als Grundlage. Diese werden unter Verwendung eines elektrischen Feldes in einem Vakuum festgehalten. Mit Hilfe eines Lasers ist es möglich die Ionen in einen ruhigen Zustand zu versetzen (man nennt dies Kühlung mittels Laser). Ein Laser ist nichts weiter als ein Strahl von Lichtquanten, welche alle die gleiche Energie aufweisen. Somit ist die Frequenz des Lichtes eindeutig bestimmt und nicht eine Überlagerung von vielen Wellenlängen, wie wir es in unserem Alltag vorfinden. Eine weitere Besonderheit des Laserlichtes ist, dass es kohärent ist, Wellenberg und Wellental der einzelnen Lichtwellen liegen also genau übereinander und können sich so nicht gegenseitig auslöschen.
Die Ionen können die Quantenenergie des Lasers nur aufnehmen, wenn dieser die richtige Frequenz aufweist. Befindet sich das Ion in Ruhe, so hat der Laser keinerlei Wirkung, da die Quantenergie nicht der benötigten Energie des Ions entspricht. Befindet es sich jedoch in Bewegung, so entfernt sich dieses von dem Laser und wandert wieder auf diesen zu. Nach dem Dopplereffekt, wie er oben bereits beschrieben wurde, erhöht sich die Frequenz des Lichts, wenn sich das Ion auf die Lichtquelle zu bewegt. Hierdurch kann das Quant die nötige Energie erhalten und auf das Ion einwirken. Dies erhält einen Rückstoß und beginnt so die Bewegung langsam einzustellen, bis es schließlich gänzlich zur Ruhe kommt.
Mit Hilfe des Laserlichtes kann das ruhige Ion nun beliebig angeregt werden. Da auch dieses den Gesetzen der Quantenphysik gehorcht, lässt es sich somit in eine Quantensuperposition zwischen angeregtem und nicht angeregtem Zustand versetzen. Auch eine Wechselwirkung mit anderen Ionen ist möglich: Wird nämlich ein Ion angeregt und somit in Bewegung versetzt, so tun das auch die anderen Ionen, welche in der gleichen Falle sitzen. Somit erhält man eine Überlagerung verschiedener Quantenzustände.


Mit Quantensuperpositionen rechnen

Sie werden sich nun zu recht fragen wie man mit irgend welchen überlagerten Wellenfunktionen rechnen kann. Diese Frage soll nun hier beantwortet werden. Mathematisch gesehen handelt es sich bei Quantenoperationen um komplexe Vektorberechnungen, welche ich hier nicht tiefergehend beschreiben möchte. Um Ihnen jedoch eine mathematische Vorstellung zu geben, sei das Prinzip hier ganz kurz demonstriert. Wenn Sie die Mathematik nicht mögen, so können Sie das nun Folgende einfach überlesen, ich empfehle jedoch wenigstens einen kurzen Blick auf die mathematische Beschreibung zu werfen. Auch wenn Sie nicht alles verstehen sollten, so werden die Gedankengänge trotzdem deutlicher. Grundlage des mathematischen Modells bildet der sog. Hilbertsche Raum, ein Koordinatensystem, welches ähnlich dem kartesischen ist (also dem gewohnten mit einer horizontalen, vertikalen und diagonalen Achse (letztere soll immer die Tiefe repräsentieren)), jedoch kann der Hilbertraum mehr Dimensionen enthalten. Der Zustand eines quantenphysikalischen Systems lässt sich als Vektor darstellen, welcher sich aus drei weiteren Vektoren zusammensetzt. Diese Vektoren können gerade die x, y und z-Achse eines kartesischen Koordinatensystems sein. Je nachdem wie hoch jeweils der Anteil der drei Vektoren am resultierenden Vektor ist, richtet sich dieser unterschiedlich im Raum aus. Dieser sich ergebende Vektor (ket-Vektor genannt) wird mit dem Formelzeichen dargestellt. Haben wir ein Qubit vorliegen, so überlagern sich zwei Zustände: Einmal der Zustand, welchen wir mit 0 bezeichnen, und ein Zustand, welchen wir mit 1 umschreiben. Beides sind Eigenschaften des quantenphysikalischen Systems und müssen für das Gesamtsystem berücksichtigt werden. Diese beiden Zustände lassen sich nun wieder als ket-Vektor auffassen. Die Wahrscheinlichkeit, dass das System bei einer Messung 0 zurück gibt kann man mit bezeichnen, die Wahrscheinlichkeit für eine 1 mit . Es ist zu beachten, dass es sich hierbei noch nicht direkt um die Wahrscheinlichkeiten handelt, da beide Werte komplexe Zahlen sind.
In der sog. Dirac-Notation fasst man nun die Wahrscheinlichkeit cp , den Zustandeines Systemsund den ket-Vektor zusammen:. Dies besagt nichts weiter, als dass das System eine Wahrscheinlichkeit cphat, bei einem gegebenen ket-Vektor in den Zustand zu fallen.
In unserem Beispiel ergibt sich das gesamte quantenphysikalische System aus der Kombination zweier Systeme:


Dieses Qubit repräsentiert nun zwei Werte, welche man als Vektor notieren kann (rechte Seite der Gleichung). Durch hinzufügen weiterer Qubitskönnen weitere Werte repräsentiert werden. Dies erfolgt mathematischdurch eine Multiplikation der jeweiligen Vektoren der Qubits:


Sie sehen, dass sich ein Vektor ergibt, welcher nun vier Zustände darstellen kann. Auf diese Weise könnte man das Ganze für 3, 4, 5 usw. Qubits fortsetzen. Man erhält immer 2N Möglichkeiten der Darstellung.
Wir haben zwar jetzt Quantenzustände innerhalb des Rechners (zumindest mathemtisch) erzeugt, jedoch noch keine einzige Rechenoperation ausgeführt. In der Mathematik bedient man sich hierfür sog. Matrizen (M), welche man auf die Vektoren ansetzt:


Wendet man diese Matrix auf einen Quantenvektor an, so funktioniert dieswiefolgt:


An einem sehr einfachen Beispiel sei dies demonstriert. Möchte man das logische NOT programmieren, so muss man eine Matrix finden, welche meine Vektoren so verändert, dass am Ende eine 0 steht, wenn der Eingabewert 1 war und umgekehrt. Befindet sich unser quantenphysikalischen System in dem eindeutigen Zustand 0, so ist die Wahrscheinlichkeit eine 0 zu messen 100 %(=1) und dieWahrscheinlichkeit eine 1 zu messen 0 % (=0):




Wendet man auf diesen Vektor nun folgende Matrix an


so ergibt sich:


Sie sehen, dass der Vektor nun genau vertauschte Werte hat! Das gleiche funktioniert natürlich auch andersherum:


Auffällig ist, dass bei der Anwendung der Matrix alle Werte des Vektors bearbeitet werden. Alle Werte werden parallel verändert (hier die 0 zur 1 und die 1 zur 0). Dies ist auch das große Geheimnis des Quantenrechners: Eine Operation auf einen Quantenzustand verändert alle beteiligten Einzelzustände parallel, so dass theoretisch Millionen Berechnungen gleichzeitig möglich sind.
Sie haben nun eine Vorstellung wie die mathematischen Operationen innerhalb eines Quantenrechners von statten gehen. Das Geheimnis sind die Matrizen, welche man auf die Vektoren anwendet. Die Frage ist jedoch, wie dies hardwaretechnisch realisiert wird. Bis jetzt haben Sie nur die Software geschrieben, aber ohne Hardware nützt die beste Software nichts. Einen Teil der Hardware haben wir bereits: eine Art Speichermedium auf dem wir Quantensuperpositionen repräsentieren können (z.B. Ionenfallen oder NMR). Wie wendet man nun aber die Rechenoperation an? 
Wenn wir uns an das Mach-Zehnder-Interferometer vom Anfang zurückerinnern, so können wir feststellen, dass das Auslöschen des einen Lichtstrahls und das Verstärken des anderen Resultat ihrer Laufzeit ist. Verändern wir die Laufzeit eines Lichtstrahls so würde dieser etwas später als der andere eintreffen – Wellenberg und Wellental hätten eine andere Überlagerung und würden vielleicht genau das entgegengesetzte Ergebnis liefern (eine Glasscheibe hat beispielsweise eine solche abbremsende Wirkung). Dies macht man sich in Quantencomputern zu nutze: Man versucht mit den verschiedensten Hilfsmitteln die Matrix zu simulieren. Die Möglichkeit einer NOT-Funktion haben Sie bereits kennen gelernt: So kann bei der NMR-Methode die Ausrichtung des Teilchens um 180° gedreht oder bei der Ionenfalle ein Ion angeregt bzw. abgebremst werden.

 
EPR und Dekohärenz

Ein großes Problem innerhalb der Quanteninformatik besteht darin, die Quantensuperpositionen aufrecht zu erhalten. Kleinste Wechselwirkungen mit der Umgebung zerstören diese nämlich und Interaktionen mit der Umgebung sind auf Quantenebene leider Alltag. Den Prozess der „langsamen“ Zerstörung der Quantensuperposition nennt man Dekohärenz. Diese dauert manchmal nur Millisekunden. Ziel ist es die Lebensdauer der Quantenzustände zu erhöhen. In der Zwischenzeit wurden Theorien entwickelt um eine Fehlerkorrektur zu ermöglichen.
Es gibt jedoch eine Methode Daten zu sichern, welche so phantastisch anmutet, als wäre sie von Scotty persönlich aus dem Schiffscomputer der Enterprisegeladen worden: verschränkte Quanten. Wieder einmal muss man sich der Heisenbergschen Unschärferelation bedienen um zu verstehen was verschränkte Quanten sind. 1935 haben drei Physiker ein Gedankenexperiment aufgestellt, welches fortan als EPR-Paradoxon bezeichnet wurde: Albert Einstein, BorisP odolsky und Nathan Rosen. Man nehme, so dachten sie sich, zwei Quanten und lasse diese in einem geringen Abstand voneinander wechselwirken. In dieser Situation lässt sich der Abstand der beiden Quanten zueinander exakt bestimmen. Auch der Gesamtimpuls des Systems ist bestimmbar. Ist die Wechselwirkung erfolgt, so trennen sich die beiden Quanten wieder ohne auf ihrer Reise mit anderen Teilchen in Kontakt zu treten. Zu einem frei gewählten Zeitpunkt misst man jetzt den Impuls des einen Teilchens mit exakter Genauigkeit. Da die Impulsenergie des gesamten Systems gleich bleibt, muss man nur diese Messung von der vorher gemessenen Gesamtimpulsenergie abziehen und erhält die Impulsenergie des anderen Quants. Nun messen wir den Ort des ersten Quants, wodurch wir den Impuls nach Heisenberg natürlich zerstören. Dies ist aber kein Problem, denn aus dem Messergebnis können wir nun ableiten welchen Ort das zweite Quant in der Zwischenzeit eingenommen haben dürfte. So haben wir für das zweie Quant Ort und Impuls gleichzeitig bestimmt und damit die Heisenbergsche Unschärferelation zerstört – eines der fundamentalsten Naturgesetze hat keinerlei Gültigkeit mehr! Aber keine Panik! So, wie es sich Einstein, Podolsky und Rosen dachten, funktioniert es nicht. Die beiden Quanten stehen nämlich in einer Fernwirkung in Beziehung zueinander. Zerstören wir den Impuls des einen Quants wird instantan (ohne Zeitverzögerung) auch der Impuls des anderen Quants zerstört. Einstein und viele andere Physiker haben jedoch ein Problem mit der Gleichzeitigkeit: Theoretisch müsste die Information bezüglicher der veränderten Impulsenergie unendlich schnell den Raum durchqueren und das andere Quant beeinflussen. Unendliche Geschwindigkeiten widersprechen jedoch den Gesetzen der Relativitätstheorie! Schaut man sich einmal in Internetforen um, so sieht man welches heillose Durcheinander an Meinungen und Einstellungen, Abschätzungen und wissenschaftlichen Erkenntnissen bezüglich des EPR-Gedankenexperimentes herrscht. Ich möchte daher an dieser Stelle nicht tiefer auf dieses Problem eingehen. Fakt ist in der Zwischenzeit nur, dass die instantane Datenübertragung tatsächlich funktioniert. Eines der wichtigsten Experimente auf diesem Gebiet führte John Bell durch und bewies mit seiner Bell'schen Ungleichung die Richtigkeit der instanten Datenübertragung.
In Quantencomputern könnte man sich nun vorstellen den Schwingungszustand des einen Quants instantan auf ein anderes Quant zu übertragen, welches mit diesem in Beziehung steht (man spricht von sog. verschränkten Quanten) um so die Information länger zu erhalten. Auf ähnliche Weise funktioniert das Prinzip des Beamens auf Raumschiff Enterprise. Jede molekulare Struktur kann als Schwingung einer Materiewelle aufgefasst werden, als ein großes Quantensystem. Mit Hilfe der verschränkten Quanten könnte man nun die Schwingungsinformation und Polarisation auf ein zweites Quant übertragen. Mit einzelnen Lichtquanten hat dies schon funktioniert, Experimente mit Wasserstoffatomen sind in Planung.


Viele ungelöste Probleme

Vieles, was hier beschrieben worden ist, klingt nicht nur kompliziert sondern ist es auch. An einen wirklich lauffähigen Rechner auf Quantenbasis ist zur Zeit nicht zu denken, auch wenn einige Optimisten das Jahr 2010 als Ziel vor Augen haben. Ob wir jedoch wirklich im Jahre 2010 mit Quantenrechnern arbeiten können sei dahingestellt. Bis jetzt sind nur zwei Algorithmen entwickelt worden, die auf einem solchen Computer lauffähig wären. Das ist Peter Shors Algorithmus zur Primzahlzerlegung auf der einen Seite und Lov Grovers Algorithmus zur Suche nach Daten in einer unsortierten Datenbank auf der anderen. Eines der größten Probleme ist jedoch immer noch die Dekohärenz, trotz der vielversprechenden Ansätze wie ich sie oben beschrieben habe.
Sollte der Quantencomputer jedoch Realität werden, so wären alle bisherigen Kryptografieverfahren hinfällig, denn fast alle bauen auf dem Prinzip der Primzahlzerlegung auf (z.B. RSA-Verfahren). Ein Rechner kann zwar durch Multiplikation aus Primzahlen (also Zahlen welche nur durch 1 uns sich selber teilbar sind) schnell sehr große Zahlen erstellen, diese jedoch nicht mehr innerhalb einer realistischen Zeit in ihre Primzahlen zerlegen. Für einen Quantencomputer wäre das jedoch nur eine leichte Fingerübung. Dafür stellt die Quanteninformatik jedoch ein adäquates Gegenmittel zur Verfügung: die Quantenkryptografie, welche besonders bei der Datenübertragung geeignet ist. Bevor man eine Information über ein Glasfaserkabel überträgt werden sie von dem Sender in eine bestimmte Richtung polarisiert. Der Empfänger misst diese Polarisation und sendet den gemessen Wert zurück an den Sender. Dieser prüft daraufhin die Übereinstimmung der Polarisation. Möchte ein Spion den Datenfluss abhören muss er die Quanten bei der Übertragung betrachtet. Hierdurch zerstört er jedoch die Polarisation was der Sender feststellen kann. Sollte ein Quant falsch polarisiert ankommen, wird die Leitung gekappt und der Spion hatte keine Chance eine brauchbare Information aus dem System zu ziehen. Entsprechende Übertragungen wurden bereits über Strecken von ca. 10 km Länge durchgeführt. 



 
                        
Zusammenfassung

Bei Quantencomputern werden Bits durch sog. Qubits ersetzt, welche eine Überlagerung mehrerer Quantenzustände gleichzeitig darstellen (Quantensuperposition). Zwei Möglichkeiten solche Superpositionen hervorzurufen sind die nukleare magnetische Resonanz (NMR), welche sich der Spineigenschaft von Teilchen bedient, und die Ionenfalle, welche auf angeregte und nicht angeregten Ionen in einem elektrischen Feld aufbaut. Mathematisch basiert der Quantenrechner auf der Vektorrechnung, dessen mathematische Form mit allerhand Tricks auf die Hardware abgebildet werden muss. Um Dekohärenz (Zusammenbruch der Superposition) zu vermeiden, versucht man den Quantenzustand mit Hilfe verschränkter Quanten auf andere Quantensysteme zu übertragen. Die Grundidee dahinter bildet das EPR-Paradoxon. Die Quantenkryptografie ermöglicht eine sichere Datenübertragung zwischen Sender und Empfänger durch Ausrichten der Polarisation.